Urodził się w Grodnie. Studia muzyczne zwieńczył trzema dyplomami: z pianistyki (w klasie Jerzego Lefelda), kompozycji (w klasie Piotra Perkowskiego) i dyrygentury (w klasie Bogusława Madeya). W roku 1961 zdobył I nagrodę na Ogólnopolskim Konkursie Pianistycznym im. Ignacego Jana Paderewskiego w Bydgoszczy, ale pianistykę porzucił na rzecz dyrygentury.
W 1972 roku założył Polską Orkiestrę Kameralną, którą wkrótce wielu krytyków uznało za jedną z najlepszych orkiestr na świecie. POK koncertowała pod jego batutą w tak prestiżowych salach jak Carnegie Hall, London Proms, Wiener Ferein i oczywiście w Polsce.
Sukcesem był także kontrakt z wytwórnią płytową EMI. W roku 1975 Maksymiuk został pierwszym dyrygentem WOSPR-u. Z zespołem tym odbył dwukrotnie tournée po Europie i po Stanach Zjednoczonych. Lata 1983-1991 to okres owocnego szefowania BBC Scottish Symphony Orchestra, wielu koncertów i tournées z tym zespołem(m.in. na Koncertach Promenadowych w Londynie). Wyrazem uznania dla jego ówczesnych osiągnięć w BBC SSO stał się przyznany artyście tytuł Conductor Laureate.
W roku 1990 Jerzy Maksymiuk rozpoczął współpracę z English National Opera, gdzie poprowadził premierowe przedstawienia opery Don Giovanni i operetki Zemsta nietoperza. Następne lata wypełniły koncerty w wielu prestiżowych salach, m.in. dyrygował koncertem otwierającym salę Filharmonii w Belfaście. Na swym koncie ma koncerty z tak znanymi orkiestrami jak: London Symphony Orchestra, London Philharmonic Orchestra, Philharmonia Orchestra, Orchestre National de France, Tokyo Metropolitan Symphony Orchestra.
Zawsze koncertował także w kraju, często z wyróżnianą przez siebie orkiestrą Sinfonia Varsovia. Nagrał około 100 płyt, w tym dla wytwórni EMI (13 płyt), Hyperion, Naxos. Wiele z nich uhonorowanych zostało prestiżowymi nagrodami, min. Wiener Floeten Uhr za interpretacje Mozarta z POK (1982), Gramophone Award za „Best Concerto of the Year” (1992) z nagraniem The Confession of Isobel Gowdie Jamesa Macmillana; w 1995 roku nagrodaę Hyperionu otrzymał za koncerty fortepianowe Medtnera (solista: Nikolai Demidenko).
W Polsce jego nagrania wielokrotnie zdobywały Nagrodę Fryderyka, m.in. album „Karłowicz” (BeArTon) nagrany z zespołem Sinfonia Varsovia i Agatą Szymczewską. Wcześniej tę samą nagrodę zdobyły albumy BeArTonu „Witold Lutosławski” (Sinfonia Varsovia, Janusz Olejniczak, Olga Pasiecznik) oraz – aż w dwóch kategoriach – album z muzyką Henryka Mikołaja Góreckiego z tą samą orkiestrą, Adamem Kruszewskim, chórami PR i Scholą Cantorum Gedanensis (2003).
Jerzy Maksymiuk zawsze propagował muzykę współczesną. Jest jednym z założycieli Polskiego Towarzystwa Muzyki Współczesnej. Brał udział w festiwalach Warszawska Jesień (dwie nagrody Orfeusza), dokonał prawykonań ok. 200 utworów współczesnych w różnych krajach.
W uznaniu tych zasług Strathclyde University w Glasgow uhonorował go tytułem Doctor of Letters. Jest jednym z dwóch artystów na świecie, którym Elgar Society przyznało prestiżowy złoty medal za popularyzowanie muzyki Edwarda Elgara.
Maksymiuk to także kompozytor. Jego dorobek obejmuje muzykę symfoniczną, kompozycje kameralne, balet, pieśni, muzykę filmową. Ze swoich dawnych kompozycji sam najbardziej ceni Expront (1980), z muzyki filmowej – napisaną do filmu Sanatorium pod klepsydrą w reżyserii Wojciecha Hasa.
W ostatnich latach dużo komponuje. Powstały m.in. następujące utwory: A lonely Star over Be’er – Sheva (2010) na kwintet, Vivaldi w Bostonie na orkiestrę smyczkową i kwartet smyczkowy (2010), Liście gdzieniegdzie spadające na orkiestrę kameralną z fortepianem (2011), Lament serca. Kielcom in memoriam na orkiestrę, klarnet i sopran (2012).
Jego muzyka (85 minut) napisana do niemego filmu Mania z Polą Negri, zrekonstruowanego przez Filmotekę Narodową, wykonywana była na żywo wraz z prezentacją filmu w Londynie, Madrycie, Paryżu, Kijowie, Berlinie, dwukrotnie w Warszawie i w kilku innych miastach Polski.
Otrzymał wiele odznaczeń, m.in. Krzyż Komandorski Orderu Odrodzenia Polski i Złoty medal Gloria Artis. Szczyci się także tytułem Honorowego Obywatela Miasta Białystok i Super Wiktorem.
